INTRODUCCIÓN:
Cuando estamos en la universidad recibimos una extensa y consistente formación en el campo de las matemáticas. Luego del tiempo transcurrido en la práctica profesional, cabe hacerse la pregunta.
¿De qué manera se justifica invertir tanto tiempo en estudiar temas relacionados con física matemáticas, algoritmos y aspectos conexos si una gran cantidad de los problemas prácticos los resolvemos con hojas de cálculo ó procedimientos que se simplifican con el uso de programas de computadora?
En este artículo trataré de responder esta pregunta exponiendo una opinión desde un punto de vista basado en la experiencia del ejercicio profesional en el mundo real. Desarrollaré algunos temas matemáticos aplicados a la ingeniería, algoritmos, programas de computadora y código fuente.
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA LA SOLUCIÓN DE ECUACIONES:
+Método analítico: Dado una expresión matemática es posible desarrollar los procesos algebraicos que permitan despejar la variable cuyo valor interesa conocer.
Ejemplo:
En este caso la solución es analítica y exacta.
+Método numérico:
Existen casos donde los problemas no pueden ser resueltos analíticamente ó de manera exacta y cuya solución debe ser obtenida con la aplicación de métodos numéricos.
Gráfico de una función a ser resuelta por métodos numéricos.
Un método numérico es aquel en el que valiéndose de operaciones aritméticas podemos encontrar una solución aproximada. Estos métodos son largos y manualmente laboriosos, sin embargo, las características del procedimiento consisten en la utilización de las operaciones fundamentales de la aritmética por lo cual son prácticos para automatizar y resolver en computadora. Es por ello que el análisis numérico y el dominio de un lenguaje de programación se complementan mutuamente
Aplicamos a la solución de ecuaciones no lineales, los métodos de bisección, punto fijo y Newton Raphson y para las ecuaciones lineales los métodos de Gauss Jordan.
APLICANDO MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA LA SOLUCIÓN DE UN PROBLEMA HIDRÁULICO:
La pérdida de carga en una tubería o canal es la pérdida de presión que se produce en un fluido debido a la fricción de las partículas del fluido entre sí y contra las paredes de la tubería que las conduce.
Tres de las ecuaciones más utilizadas para el cálculo de pérdidas de energía son:
+Ecuación de Darcy Weisbach.
+Ecuación de Hazen-Williams.
+Ecuación de Chezy.
Al final de este artículo encontrarás el formulario para descargar la siguiente información:
+Archivo *.EXE para ejecutar el programa
+Archivo *.PDF con el diagrama de flujo del procedimiento analítico para el cálculo del coeficiente Landa.
+Archivo *.PDF con la explicación técnica e hidráulica.
En el aspecto matemático es importante hacer las siguientes consideraciones:
Las ecuaciones de Hazen-Williams y de Chezy se resuelven por métodos analíticos.
En el caso de la ecuación de Darcy Weisbach es necesario calcular el coeficiente de fricción (landa). El programa presenta dos opciones de cálculo:
Opción 1: Aplicando métodos analíticos. Se aplican las ecuaciones contenidas en el libro de Rabinovich E Z 1987, Hidráulica, Editorial MIR, Moscú. En el siguiente link, puedes descargar el algoritmo de este proceso.
Opción 2: Aplicando métodos numéricos para resolver la ecuación de Colebrook White. El método usado es el método de Bisección, el cual no es el más eficiente, pero si el más sencillo de explicar.
El algoritmo del método de Bisección es el siguiente:
Toler: Tolerancia Máxima
Itermax: Número máximo de iteraciones
Xi: X inferior
Xs: X superior
Xa: Aproximación a la raíz
APLICANDO MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA LA SOLUCIÓN DE UN PROBLEMA GEOTÉCNICO:
En Mecánica de Suelos, el ensayo de compactación Proctor es uno de los más importantes procedimientos de estudio y control de calidad de la compactación de un terreno. A través de él es posible determinar la densidad seca máxima de un terreno en relación con su grado de humedad, a una energía de compactación determinada.
El ensayo consiste en compactar una porción de suelo en un cilindro con volumen conocido, haciéndose variar la humedad para obtener la curva que relaciona la humedad y la densidad seca máxima a determinada energía de compactación. El punto máximo de esta curva corresponde a la densidad seca máxima en ordenadas y a la humedad óptima en abscisas.
Entonces, dado una serie de puntos experimentales se hace necesario generar el gráfico de una curva que coincida con todos los puntos.
Cuando este proceso se efectúa de manera manual se procede con:
+Graficar en un plano cartesiano los puntos (humedad, densidad seca máxima).
+Dibujar la curva que pasa por todos los puntos.
+Marcar en la curva el punto máximo.
+Obtener los datos de humedad y densidad correspondientes a ese punto máximo
Cuando este proceso se efectúa en una computadora es necesario:
+Realizar la interpolación de los datos experimentales de manera que sea posible encontrar la expresión matemática que represente una curva que pasa por todos los puntos. Esto se logra mediante la implementación de algoritmos explicados en los textos de Análisis Numérico, referidos específicamente a “Interpolación y aproximación polinomial”.
+Una vez encontrada la ecuación referida en el inciso anterior, graficar la curva mediante la generación de una serie de puntos (humedad, densidad) a intervalos reducidos.
+A partir de la ecuación de interpolación encontrada, desarrollar el procedimiento matemático y computacional requerido para determinar el punto máximo.
En la siguiente gráfica puedes encontrar una pantalla del programa desarrollado para este propósito. En el siguiente link hay una explicación más detallada https://mfkinnovacion.com/software/.
APLICANDO MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA INTERPOLAR EN UNA SERIE DE DATOS EXPRESADOS EN FORMA LOGARÍTMICA, MECÁNICA DE SUELOS:
El Sistema Unificado de Clasificación de Suelos – SUCS(Unified Soil Classification System (USCS)) es un sistema de clasificación de suelos usado en ingeniería y geología para describir la textura y el tamaño de las partículas de un suelo.
Algunas características que podemos mencionar son las siguientes:
+En un laboratorio de Mecánica de Suelos, su uso es intensivo.
+Realizar el proceso de manera manual es sumamente laborioso.
Parte del método implica el cálculo de los coeficientes de uniformidad y curvatura, los cuales dependen de los valores D10, D30, D60.
A partir de la curva granulométrica expresada en formato logarítmico se procede con la interpolación de estos valores, tal cual se muestra en el siguiente gráfico.
Realizar este proceso de manera manual implica graficar la curva granulométrica en papel logarítmico y luego realizar la interpolación de manera gráfica.
Realizar este proceso en una computadora implica el manejo de datos y la realización de procesos de interpolación en un formato logarítmico, el cual es sustancialmente diferente al caso cuando los datos están en un formato lineal.
En el siguiente gráfico se muestra una de las pantallas del programa geotécnico que, dados los datos experimentales, automatiza el 100% de los procesos asociados a la clasificación SUCS, programa de amplia utilidad práctica dado el uso extensivo de este método de análisis.
En el siguiente link hay una explicación más detallada https://mfkinnovacion.com/software/
CONCLUSIONES
Requerimiento de comprensión del fenómeno en análisis (físico y matemático).
Tal cual se menciona en el ejemplo hidráulico de este documento, la viscosidad cinemática se obtiene mediante la aplicación de una fórmula en función de la temperatura. Si evaluamos esta fórmula para una temperatura de 0 0C se obtiene un valor, el cual carece de sentido práctico ya que la viscosidad es una propiedad asociada al líquido en movimiento el cual no ocurre en el punto de congelación. Es este un ejemplo sencillo del porque el programa de cálculo no siempre es suficiente. Se requiere que el usuario del programa tenga una comprensión clara del fenómeno físico que está evaluando.
Uso de hojas de cálculo.
La aplicación de procedimientos numéricos para la solución de ecuaciones es posible mediante el uso de herramientas ya incorporadas en hojas de cálculo Excel. Sobre las hojas de cálculo es conveniente mencionar lo siguiente:
+Son muy útiles para realizar cálculos hasta un cierto nivel de complejidad. Para cálculos altamente complejos la tendencia es el uso de programas especializados. Ejemplo: Cálculo de una red de agua potable en período extendido ó cálculo estructural de un edificio.
+Frecuentemente se requiere que los datos calculados sean integrados a un Sistema de Bases de Datos Relacional. En el link https://mfkinnovacion.com/software/ se muestra como los dos procedimientos geotécnicos mencionados en este artículo (Curva Proctor, Clasificación SUCS), son incorporados a un sistema de bases de datos que permite realizar cálculos de ingeniería y luego organizar los datos bajo una multiplicidad de criterios de utilidad práctica. Ejemplo, cuando en un proyecto de carreteras deseamos conocer el resumen de resultados de pruebas de compactación para:
+Un tramo (ejemplo, entre los estacionados 0+500 a 0+600).
+Una capa (ejemplo, sub-base).
+Un período (ejemplo, entre el 10 y 20 de febrero).
+Un rango de resultados (ejemplo, entre 90 y 95% Proctor).
Es claro que con una hoja de cálculo podemos hace uso de filtros para organizar datos. Pero no es lo mismo que un programa especializado que además de realizar cálculos de ingeniería, es un sistema de bases de datos relacional, proceso confiable, que genera resultados al instante.
Uso de hojas de programas especializados.
Algunas veces ocurre que los datos que genera un programa especializado no se adapta a la forma como lo solicitan las autoridades de instituciones encargadas de revisar y aprobar los diseños. Otro caso ocurre cuando el personal que está a cargo de la obra requiere los datos de construcción en un formato personalizado. Para estos casos es de gran utilidad la programación orientada a objetos, ya que esta nos permite manipular los objetos generados por un programa especializado y reestructurar el orden de la información según se requiera. En otro artículo estaremos abordando con más amplitud este tema.
Dado lo antes expuesto es posible concluir lo siguiente:
+Durante el desarrollo del trabajo práctico de ingeniería resulta necesario estar automatizando procesos.
+La compresión del sustento físico y matemático es indispensable para poder realizar una correcta interpretación de los datos.
+El uso y dominio de herramientas de programación incrementa la versatilidad del desempeño profesional.
+Para todo lo mencionado anteriormente se requieren algoritmos.
Para descargar programa de computo, código fuente, algoritmos, documento técnico-hidráulico, rellena el siguiente formulario:
Maestro en ingeniería
Con 25 años de práctica profesional continua e intensiva, coordina el equipo multidisciplinario a cargo de los diferentes proyectos que la empresa desarrolla.